Reloj cuántico

Desde siempre los hombres hemos medido el tiempo utilizando argumentos basados en la  gravedad, aún antes de conocer la ley de gravitación universal de Newton. Los ciclos de rotación de la tierra, las clepsidras que derramaban agua en recipientes calibrados y los relojes de arena son ejemplos  familiares.

Con los experimentos de Galileo con péndulos  y planos inclinados, como los planos inclinados que se muestran en la figura 1a), podríamos decir que,  también gracias a la gravedad, descubrimos el concepto del tic-tac, tan asociado al funcionamiento de los relojes; en este caso, gracias a la pelota que baja por uno de los planos , sube por el otro y vuelve. El reloj más simple sería dejar caer una pelota desde una altura L, que, en ausencia de rozamientos, viscosidades y pérdidas por calor, llegaría al  suelo con una determinada velocidad y botaría hacia arriba frenada por la misma gravedad que la aceleró hacia abajo, hasta alcanzar la posición inicial y repetir el ciclo de forma indefinida.  En la figura 1b) se ilustra  estre proceso. Una vez colocada la pelota en el punto A este proceso es posible gracias a la gravedad y al  principio de conservación de la energía.

Figura 1

A precisión de este reloj viene dada  por su frecuencia, que es el número de veces por segundo que se repite la secuencia tic-tac. Haciendo unos cálculos esta frecuencia es,

Siendo g = 9,81 m/s² y L la altura a la que se coloca la pelota. Como ya nos dijo Galileo, este proceso es independiente de la masa de la pelota, que solo interviene en la energía necesaria para colocar la pelota en el punto A de la figura 1b).

Si se quiere que el reloj sea de precisión la frecuencia tiene que ser elevada y en consecuencia L tiene que ser pequeña, lo cual tiene las limitaciones que le imponen el mundo macroscópico y la física cuántica. La primera es una limitación práctica debida al tamaño de los objetos que estemos manejando, y la segunda, que es teórica, viene dada por la longitud de Planck, que como  ya hemos visto otro día es L_q= h/Mc, siendo h la constante de Planck, M la masa de la pelota y c la velocidad de la luz.

Y ahora, lo mismo que antes colocábamos la pelota en el punto A, colocamos una partícula en una cajita de longitud L, donde se moverá yendo de un extremo a otro siguiendo la función de onda de Schrödinger y conforme al  principio de indeterminación de Heisenberg, que nos dice que en condicione límites pq = h, donde p es el momento que nos enseñó Descartes (masa por velocidad), q es la posición de la partícula y h la constante de Planck. En condiciones ideales la partícula no se puede parar, ya que la velocidad no puede ser igual a cero, porque en ese caso pq no sería igual a h, como nos exige el principio de indeterminación. Desarrollando la fórmula anterior, la podemos escribir así:

Mvq = h, y por lo tanto v = h/Mq

La mayor frecuencia la tendremos para la caja más pequeña posible, que es la que tuviera la longitud de Plank L_q. Considerando que un tic tac es un recorrido simple, la frecuencia máxima de este reloj cuántico vendría dada por:

w = v/L = (h/ML_q)/L_q

Pero para un tamaño de la caja igual a L_q , el paréntesis del numerador (como se deduce despejando c en la fórmula vista anteriormente, L_q= h/Mc ), es igual a la velocidad de la luz, c, con lo que nos queda:

w = c/L_q

Que en condiciones ideales este reloj se mueva por sí mismo, no es ninguna  novedad, pues tiene dos antecedentes importantes: el oscilador armónico y el circuito  LC que se recogen en la figura 2.

Figura 2

Haciendo unos pequeños cálculos para una partícula, por ejemplo para un electrón, la frecuencia w es del orden de decenas de ciclos por segundo, lo cual nos da precisiones para el reloj del orden de diezmilésimas de segundo. Si al reloj de la pelota botando y a todos sus predecesores los podíamos llamar relojes gravitacionales porque funcionaban movidos por la gravedad, a éste, que se mantiene en movimiento gracias al principio de indeterminación de Heisenberg, lo podemos llamar reloj cuántico.

Otro reloj cuántico sería el de dos espejos colocados  como se indica en la figura 3 izquierda. Si un rayo de luz se reflejara entre ambos espejos tendríamos un tic tac arriba y abajo determinado por el tiempo que la velocidad de la luz tarda en recorrer la distancia entre los relojes.

Figura 3

Se trataría pues de un reloj que no necesita de la gravedad y que tampoco tiene masa, pues la partícula que hace el recorrido sería un fotón. Si este reloj lo llevamos en nuestro bolsillo cuando paseamos o viajamos, el recorrido de la luz sería el indicado en la figura 3 derecha,  con lo cual su tic tac sería más lento. Esto ayuda a explicar la paradoja de los dos mellizos cuando uno se queda quieto mientras el  otro viaja con un reloj  como este en el bolsillo. El hermano que está en tierra verá cómo mientras el reloj de su hermano viajero hace tic—tac—tic—tac, el suyo propio hace tic-tac-tic-tac. Si en ambos relojes un año corresponde a n tic tac, al regreso del viajero, su hermano dirá que mientras para él mismo pasaron N años, para su hermano viajero habrán transcurrido bastantes menos. La paradoja surge porque el viajero, al viajar a la misma velocidad uniforme que su reloj, no se da cuenta de que la secuencia tic tac de su reloj se ha ralentizado.

Nota: Estas historias más imaginativas que reales, nos las contaba en la Residencia de Estudiantes, unos años antes de su muete, el doctor Cesar Gómez, del Instituto de Física Teórica, con su estilo muy personal de buen conferenciante.

Figura de cabecera: Reloj de agua o clepsidra