Caída libre

Si nos deslizáramos sobre un patinete por una superficie plana sin rozamiento y sin que el aire nos pusiera ninguna resistencia, nos moveríamos indefinidamente en línea recta y a velocidad constante, ya que no existiría nada que se opusiera a este movimiento, que por ese motivo recibe el nombre de movimiento inercial. Esto lo entendemos bien y en ello parece que todos estamos de acuerdo.

La cosa es diferente cuando nos arrojamos en caída libre desde una torre. En esa caída, según nos explicó Newton, estamos sometidos a la fuerza de atracción de la gravedad de la tierra y nuestro movimiento sería uniformemente acelerado con una aceleración aproximada de 9,8 metros por segundo cada segundo. Esto siempre lo hemos aceptado, y cualquier estudiante de bachillerato ha hecho problemas aplicando esta aceleración. Sin embargo presenta algunas cuestiones de difícil respuesta. Por ejemplo: ¿Cómo se transmite y se aplica esa fuerza? El propio Newton se planteó esta pregunta.

Einstein vio la caída libre de un cuerpo de otra manera. Para él la acción de la gravedad no es causa de una fuerza, sino que produce una curvatura del espacio-tiempo, una curvatura que se puede calcular según vimos en otro artículo.

En un epacio-tiempo así curvado, como en toda superficie no plana, existen unas líneas llamadas geodésicas, que son las que marcan la distancia más corta entre dos puntos. En una esfera los círculos máximos son geodésicas y en un plano, generalizando este concepto, también lo son las líneas rectas.

Cuando un cuerpo se desplaza por una superficie curva sin que actúe sobre él ninguna fuerza, se dice que lo hace en caída libre, y cuando esto ocurre se cumplen las dos condiciones siguientes: se mueve sin aceleración y se desplaza siguiendo una geodésica. En consecuencia, para Einstein, un hombre que cayera en caída libre desde una torre, lo haría cayendo en cada momento siguiendo una geodésica y con una velocidad que depende de la curvatura de la superficie.

La explicación de Einstein nos recuerda más al movimiento inercial descrito en el primer párrafo que al uniformemente acelerado del segundo. Y, en efecto, así es, pues la persona que cae en caída libre se siente a sí misma cayendo conforme a un movimiento inercial, sin que ninguna fuerza actúe sobre ella, desplazándose a lo largo de una geodésica de un espacio curvado. No obstante, hay que considerar que la curvatura del espacio-tiempo puede variar de un punto a otro y que los vectores del sistema de referencia de la persona que cae también pueden ir cambiando. Lo mismo ocurre con un elemento diferencial o muy pequeño de la geodésica. Por todo ello si queremos analizar desde fuera al hombre que cae es imprescindible saber en que punto, P, se encuentra en cada momento, y plantear las ecuaciones correspondientes para ese punto concreto.

Lo dicho se refiere a cómo se ve a sí mismo el hombre que cae. Si nosotros queremos estudiar su movimiento desde fuera tenemos que trasladarlo todo a nuestro sistema de referencia, en reposo para nosotros con relación a él. Lo primero que se nos podría ocurrir sería aplicar unas transformadas por velocidad relativa de nuestros dos sistemas de referencia, el nuestro que está en reposo y el del del hombre que en el punto P se está moviendo a velocidad v. Sin embargo, esto sería erróneo, porque la curvatura del espacio-tiempo se debe a la gravedad y por el principio de equivalencia entre gravedad y aceleración, no es un cambio de velocidad sino una aceleración lo que se interpone entre el hombre que cae y nosotros. Es decir, su sistema de referencia y el nuestro están separados por la acción de la gravedad que se manifiesta en la curvatura del espacio-tiempo.

Por ello se necesita una herramienta más compleja que una transformada por diferencia de velocidades, pero el cambio a nuestro sistema de referencia tiene solución, y podemos calcular desde nuestra posición de reposo, por ejemplo, la energía y el momento asociados al hombre que cae cuando está en el punto P. Al hacerlo vemos que ambos dependen de la velocidad y de su masa, y que vienen dados por un ente matemático que depende de la densidad de la masa que cae, de las componentes de su velocidad en ese punto, y de algunas relaciones de esas componentes.

Una vez que tenemos la curvatura del espacio-tiempo y los valores del movimiento del hombre que cae, referidos todos a nuestro sistema de referencia, podemos analizar si existe alguna relación entre todos ellos. Esta relación existe y fue Einstein el primero que la estableció. Por una parte construyó un ente matemático que definía la curvatura en el punto P, que se conoce con el nombre de Tensor de Curvatura de Einstein. Por otra parte construyó otro tensor con los valores de la densidad de masa y la velocidad del hombre que cae referidos a ese mismo punto P, que se denomina Tensor de Energía-Momento. Finalmente, con ellos, estableció la ecuación fundamental de la Teoría de la Relatividad General, que dice que el primero de estos tensores es igual al segundo multiplicado por una constante de proporcionalidad K=8πG/c⁴, siendo c la velocidad de la luz y G la constante de gravitación universal. El esquema siguiente trata de ilustrar todo esto.

La igualdad entre estos dos entes matemáticos unidos por la constante citada constituye la ecuación fundamental de la Teoría de la Relatividad General. Esta ecuación relaciona la curvatura en un punto con la conservación de la cantidad de movimiento de una densidad de masa que se desplaza por la geodésica cuando está en ese punto, y esto, más o menos, se puede entender. El enorme problema que plantea esta ecuación es el de resolverla, ya que la igualdad entre los dos entes matemáticos se traduce en las diez ecuaciones diferenciales que se plantean al igualar entre sí los diez componentes independientes de los respectivos tensores. De todas las soluciones que se han encontrado para este bloque de ecuaciones, la más conocida es la de Schwarzschild, con la cual se construye una métrica que nos permite estudiar la órbitas de los planetas, o meternos dentro de un agujero negro.

Una representación muy intuitiva de la métrica de Schwarzschild es el llamado paraboloide de Flam, al que corresponde la figura anterior, que muestra la curvatura del espacio tiempo en el plano ecuatorial de un planeta de simetría esférica. No olvidemos que en cualquier punto que nos encontremos, siempre habrá un plano ecuatoria del planeta que pase por donde nosotros estamos. Se aprecia con claridad cómo crece la curvatura a medida que nos vamos acercando al planeta. Una masa cualquiera que estuviera en un punto cualquiera se movería hacia el planeta a lo largo de una de esas líneas de aspecto radial y curvatura creciente, que sería la geodésica que une el punto con el planeta.

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