Ecuación de onda

En mecánica clásica, la segunda ley del movimiento de Newton, fuerza igual a masa por aceleración, nos permite estudiar la trayectoria de una pelota que se esté moviendo bajo la acción de una fuerza externa, que puede ser igual o distinta de cero. En mecánica cuántica, la fórmula que nos permite hacer lo mismo al hablar de la trayectoria de un electrón, es la ecuación de onda de Schrödinger, salvando, naturalmente, las diferencias entre el determinismo de la primera y la naturaleza estadística de la segunda.

Pero si una pelota es algo bien definido, al hablar de un electrón no ocurre lo mismo, pues un electrón tiene el doble carácter de partícula y onda. La idea genial que se le ocurrió a Schrödinger pudo ser la siguiente: si el electrón al moverse genera una onda que va evolucionando con el tiempo y el espacio, vamos a tomar la función de onda de la mecánica clásica y vamos a trabajar con ella con la formulación cuántica, y a ver qué pasa. Y así lo hizo.

Cuando hablamos de una onda normal hablamos de algo que tiene la forma que todos conocemos y que matemáticamente se corresponde con una función senoidal. Sin embargo, las funciones senoidales pueden expresarse también por una función exponencial compleja, y así se hace con frecuencia porque es más fácil operar con funciones exponenciales que con funciones senoidales.

Schrödinger parte de la ecuación de la función de onda de una onda plana, Ψ, y de ella obtiene la siguiente expresión exponencial,

Ψ = ei/ħ (Px -Et)

siendo ħ la constante de Planck reducida, P la cantidad de movimiento, E la energía total, x el espacio y t el tiempo. Todas ellas magnitudes que nos resultan familiares.

Derivando esta función con respecto a x y con respecto a t, obtiene unos valores para P y E, a los cuales, y aquí está su segunda genialidad, les da el carácter de operadores cuánticos. A continuación simplemente dice que el operador energía total aplicado a Ψ es igual al operador energía cinética más energía potencial V, aplicado también a Ψ, y así, con un par de tranformaciones, escribe la famosa Ecuación de Onda que lleva su nombre:

[ iħ ∂/∂t ] Ψ = [ V – 1/2m ħ2 2/∂x2 ] Ψ

[ energía total ] Ψ = [ energía potencial más energía cinética ] Ψ

Esta ecuación, aparentemente complicada, no hay que aprendérsela, y su explicación es sencilla. Repetimos: el primer corchete es el operador correspondiente a la energía total del sistema cuántico que estudiamos, y el segundo corchete es el operador correspondiente a la suma de su energía potencial y su energía cinética. Y ambos operadores se aplican a la función de onda Ψ.

Si al resolver la primera ecuación la solución que se obtiene para Ψ es una onda tradicional, al resolver la segunda nos preguntamos cuál puede ser el significado de Ψ después de las transformaciones introducidas por Schrödinger. El significado de Ψ aún no está claro, a pesar de que Schrödinger publicó su ecuación en 1926. Sin embargo, ese mismo año el físico alemán Max Born explicó que, encontrada una solución, el cuadrado del módulo de Ψ en un punto dado, medía la probabilidad de que el electrón estuviera en ese punto. Desde entonces la Ecuación de Onda de Schrödinger se conviertió en una pieza fundamental para el desarrollo y aplicación de la mecánica cuántica, dándonos la probabilidad de que una partícula pueda estar en un punto determinado. Todas las medidas realizadas hasta el momento han confirmado esta teoría probabilística enunciada por Born.

Para que la ecuación quede completa hay que referirla a las tres dimensiones del espacio, pero en este momento eso no es relevante. En la ecuación juega un papel importante la energía potencial del electrón, que aquí no es como en mecánica clásica la que tiene un cuerpo por su posición con respecto a la tierra que lo atrae por gravedad, sino que, por ejemplo, al hablar de un átomo, es la que tiene el electrón por la fuerza con la que es atraído por el núcleo.

Figura 1

Si resolvemos la ecuación de Schrödinger para un átomo de hidrógeno, que solo tiene un electrón orbitando alrededor del núcleo, los valores del cuadrado del módulo de Ψ nos darían la probabilidad de que el electrón se encuentre a una distancia r del núcleo. Para unas determinadas condiciones encontramos que la probabilidad de que el electrón esté cerca del núcleo es muy grande, y va disminuyendo con simetría esférica a medida que nos vamos alejando, lo que se puede representar mediante una curva o una nube de puntos cuya densidad aumenta con la probabilidad. Ambas representaciones se indican en la figura 1. Esta distribución estadística de probabilidades concuerda en su totalidad con los datos experimentales.

Otro ejemplo muy clásico es el análisis del movimiento de una partícula dentro una caja. La forma más simple de resolverlo es suponiendo un movimiento unidimensional entre los puntos 0 y L de la figura 2. En estos puntos están las paredes de la caja, que en este caso no son de ladrillo o cartón, sino dos barreras de potencial infinito que la partícula no puede saltar, viéndose obligada en consecuencia a rebotar una y otra vez. Como quiera que la correspondiente ecuación de onda de Schrödinger ya se ha planteado y resuelto muchas veces, solo vamos a comentar su interpretación.

Como sabemos, la energía total de la partícula no puede tomar cualquier valor, pues está cuantizada y determinada por unos números cuánticos, n, que pueden valer 1,2,3 etc. pudiendo saltar de uno a otro de estos valores tomando o emitiendo fotones. Supongamos que la energía de la partícula es la correspondiente al número cuántico 2. En ese caso la solución para la función de onda,Ψ, es la representada la figura 2. Lo que significa Ψ no lo sabemos. Lo que sí sabemos es que el valor de su módulo al cuadrado en cada punto, Ψ2, nos da la probabilidad de que la partícula esté en ese punto, como se representa también en la figura 2. Como se ve, la probabilidad de que esté en los puntos 0, 2 y L es nula; la probabilidad de que esté en los puntos 1 y 3 es máxima; y como la probabilidad de que esté en la caja es igual a uno, la probabilidad de que esté entre 0 y 1, 1 y 2, 2 y 3 o 3 y L es la misma y vale un cuarto. Si la energía fuera la correspondiente a otro número cuántico n, la solución de Ψ sería similar pero con un número total de máximos y mínimos igual a n.

Si se tratara de una pelota rebotando entre dos paredes y hubiéramos resuelto el problema por las leyes de la mecánica clásica, el resultado habría sido que la probabidad de encontrar la pelota en en un punto cualquiera era la misma para todos los puntos de la línea 0L.

Fotografía: Pixabay

3 respuestas a “Ecuación de onda

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