Cuando Newton calcula las órbitas de los planetas, una de las cosas que más llama la atención es que lo hiciera partiendo de una formulación sencilla y sin disponer de los conocimientos y los medios de cálculo de los que disponemos actualmente. La fuerza más importante que actúa sobre un planeta que gire alrededor del sol o sobre un cometa que se nos acerque, es la debida a la ley de la gravitación universal que él mismo formulara, que es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia, Gmm/r2.
Del balance energético de las dos masas que se atraen se deduce que la energía gravitatoria, es decir, la energía debida a esta fuerza de atracción, es negativa, y como depende de la posición relativa de las masas, el producto de la fuerza por la distancia tendrá el carácter de una energía potencial, cuyo vlor será:
– r*Gmm/r2 = – Gmm/r.
El momento angular, L, de un cuerpo que gira es un vector perpendicular al plano definido por el radio de giro y la velocidad. Su formulación matemática es fácil y tiene la particularidad de que su derivada es igual a cero, lo que quiere decir que no cambia y por eso el movimiento de giro se mantiene siempre en el mismo plano y las órbitas de los planetas son planas. El momento angular define una componente energética igual a L2/2mr2, que por depender de r es posicional y tiene el carácter de una energía potencial. Si sumamos esta energía potencial a la definida en el párrafo anterior, tendremos la energía potencial total del planeta que orbita, que se suele representar por la letra V.
A todo esto solo hay que añadirle la energía cinética del planeta, Ec, que es proporcional al cuadrado de su velocidad, según la conocida fórmula Ec=mv2/2. La suma de la energía cinética y de la energía potencial total, V, será la energía total del planeta que orbita o el cometa que se acerca o se aleja: E= Ec + V.
Esto se puede analizar gráficamente en un esquema que represente las energías, E, en función de r, siendo r la distancia entre el cuerpo que se mueve, y el cuerpo que lo atrae manteniéndose fijo, por ser su masa mucho mayor que la del primero. La curva de la figura representa la energía potencial V del cuerpo que orbita en función de esta distancia, en un esquema de una sola variable independiente que es r. Lo más señalado de la curva es que la energía potencial es importante en las distancias cortas, presenta un valor mínimo muy marcado en r3 y se acerca a cero cuando el planeta se aleja lo suficiente.
Veamos los casos más importantes, que en definitiva se reducen a un balance energético, posicionando en esta representación el valor de la energía total E.
El valor de la energía total E no puede estar nunca por debajo del valor mínimo de la curva, como E1, pues en ese caso la energía cinética Ec sería negativa y eso es imposible.
El menor valor posible de E será E2, que se corresponde con el mínimo de la curva. En este caso E es igual a V y Ec vale cero. La energía cinética es nula, lo que en este esquema indica que la velocidad de aproximación o alejamiento, que es la derivada de r, vale cero, y si la derivada de r vale cero, r es constante y el planeta describiría una órbita de radio constante alrededor del sol, es decir una órbita circular de radio r3.
Cuando E se sitúa en la zona de E3, hay dos puntos de corte en los cuales la energía total y la energía potencial total se igualan, correspondientes a las distancias r2 y r4. El planeta se movería orbitando con una distancia variable entre los puntos (E3,r2) y (E3,r4) yendo permanentemente de un punto al otro con recorridos de ida y vuelta. En estas condiciones tendríamos una órbita elíptica cuyas distancias máxima y mínima al sol serían precisamente r2 y r4.
Finalmente, si la energía total se situara en la zona de E4 y el planeta se fuera alejando se perdería para siempre. Si, por el contrario, se fuera acercando, llegaría al punto (E4,r1) donde la energía cinética sería cero, se iniciaría una orbita de r constante igual a r1 y el planeta volvería a escapar para siempre. Así podría ser la visita de un cometa que se acercara a nuestro planeta, que llegaría desde no se sabe dónde, orbitaría un poco a nuestro alrededor y se escaparía modificando su dirección inicial.
Para los interesados en la formulación, podemos añadir que este análisis gráfico corresponde, en coordenadas polares, (r,φ), a la ecuación
E = (L2/2mr4)(dr/dφ)2 + L2/2mr2 – Gmm/r,
a la cual Newton le encontró la solución analítica siguiente:
r(φ) = L2/ GMm2(1+ξ cos φ),
que para ξ=0, da como resultado un valor de r(φ) constante y por lo tanto independiente del ángulo φ, dando lugar a una órbita circular, y que para valores de ξ comprendidos entre cero y uno da lugar a órbitas no circulares.
Fotografía: Pixabay
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