La curvatura del espacio-tiempo

Cuando nos dicen los científicos que el espacio-tiempo está curvado nos cuesta un poco imaginar en qué consiste esa curvatura. Pero como ante los hechos siempre nos rendimos, empezamos a entender algo cuando nos muestran una figura como la de la cabecera.

En ella, se nos explica que como la luz es atraída por la fuerza de la gravedad, es posible ver desde la tierra un objeto celeste que se encuentre detrás del sol. El esquema de la figura corresponde a un experimento real, y, por lo tanto, nos resulta convincente. Ciertamente el fenómeno mostrado está dentro ámbito de lo que llamamos curvatura del espacio-tiempo. Otra manifestación de esta curvatura es la forma en que un objeto se mueve por el espacio-tiempo en caída libre, es decir, sin que ninguna fuerza externa actúe sobre él salvo el propio espacio-tiempo curvado por acción de la gravedad. Lo veremos otro día. Estos y otros fenómenos son provocados por la gravedad y por lo tanto son más notorios cerca de objetos de gran masa y, sobre todo, en las proximidades de los agujeros negros.

La curvatura del espacio-tiempo tiene un tratamiento matemático que permite su descripción y su medida. Aunque su desarrollo completo es complejo, vale la pena intentar una aproximación a cómo se hace esto con la explicación que sigue.

Todos estamos acostumbrados a ver cómo se representan sobre un papel datos de la vida ordinaria como pueden ser la evolución de los precios de un producto o la distribución de una población por edades o estaturas. Para ello se necesitan unos ejes graduados a los que referir nuestros datos. Sin unos ejes graduados no se pueden llevar los datos a la hoja de papel. Al graduar los ejes lo que estamos haciendo es crear una métrica, es decir, crear una herramienta de medida que nos permita hacer lo que queremos. Si en un eje ponemos los precios y en otro los años, podemos ver cómo evolucionan los primeros con el paso del tiempo. Aunque pongamos marcas a lo largo de los ejes para facilitar su lectura, para definir la métrica solo es necesaria la primera marca sobre cada uno de los ejes, o lo que es lo mismo, definir un pequeño vector unidad en cada eje. A este pequeño par de vectores se le llama base, y se suelen representar por las letras e1 y e2. Una vez definida esta base de vectores para la aplicación que queramos, sería también válida para cualquier punto de la hoja de papel sobre la que estemos trabajando.

Pero no siempre ocurre así. Si en lugar de trabajar en una hoja de papel trabajamos, por ejemplo, sobre una superficie que no sea plana, estos vectores unitarios que forman la base varían de un punto a otro. Esto es lo que ocurre si trabajamos en un espacio de tres dimensiones de simetría esférica, que es la simetría de los objetos celestes. En este espacio se podría definir igualmente una base, formada por tres vectores que hicieran referencia al radio y a los dos ángulos que definen la longitud y la latitud. Los tres vectores de esta base, se diferencian de los de la hoja de papel en que, calculados respecto a unos ejes fijos, no son siempre iguales, sino que dependen del punto donde nos encontremos.

Con estas aclaraciones veamos cómo se define y cómo se calcula matemáticamente la curvatura del espacio tiempo. Supongamos que en la siguiente figura queremos trasladar desde A hasta D el vector de una base que llamamos e, de color rojo en la figura. Este traslado podemos hacerlo por dos caminos diferentes, bien yendo primero desde A hasta B y luego desde B hasta D, o bien yendo primero desde A hasta C y luego desde C hasta D. Si la superficie está parametrizada conforme a dos parámetros α y β, pasando de A a B veremos cómo varía el vector e al moverse por la curva correspondiente del parámetro α. A continuación, el resultado lo trasladaremos de B a D incorporando las variaciones que le correspondan al ser trasladado a lo largo de una curva del parámetro β.

                                       

Por el otro camino el orden es el contrario, pues el vector e sufrirá primero las variaciones que le correspondan con respecto al parámetro β y después las que le correspondan por deslizarse por una curva del parámetro α. Restando estos dos resultados se obtiene un valor que puede ser cero o distinto de cero. Si es cero, decimos que la superficie es plana, pues todos los recorridos son iguales, y si no es cero decimos que la superficie está curvada, pues existe una diferencia en función del camino elegido. Algo parecido nos ocurre a nosotros cuando caminamos por nuestra ciudad y vamos desde un punto a otro eligiendo, por ejemplo, el camino que tiene menos cuestas. En todos los casos se llega al mimo destino, pero con distinto esfuerzo y con un perfil distinto del camino recorrido.

Si hacemos los recorridos muy pequeños la figura que hemos representado sería minúscula, formada por cuatro lados que casi no podríamos verlos. Si a continuación hacemos que estos lados infinitesimales tiendan a cero, tendremos definida la curvatura en un punto del espacio-tiempo, que se escribe así:

β(∂αe) – ∂α(∂βe), y también puede escribirse, (∂βα -∂αβ )e

Como el símbolo ∂ quiere decir «variación con respecto a», la lectura en lenguaje normal de la primera de estas expresiones se corresponde con lo que hemos dicho: la variación con respecto a β de la variación con respecto a α del vector e, menos la variación con respecto a α de la variación con respecto a β del vector e, medida en un punto del espacio-tiempo, nos va a determinar el valor de la curvatura en ese punto.

Este artificio de recorrer dos caminos diferentes para ir de un sitio a otro y comparar los resultados se le ocurrió al matemático noruego del s. XIX Sophus Lie. En la práctica esto se maneja aplicando el paréntesis de la derecha a los elementos de una base, dando a los subíndices las combinaciones posibles de los valores 0,1,2,3, según la base de que se trate. Los resultados que se obtienen son los componentes del famoso tensor de Riemann, que nos dirán si el espacio-tiempo está o no curvado. Esto pertenece a la Teoría de la Relatividad General , a la cual, como se puede ver es este caso, podemos acercarnos sin miedo.                                        

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