Hipatia y Einstein

Hipatia de Alejandría fue una mujer excepcional. Filósofa, astrónoma y matemática, nació y vivió en los siglos IV y V, enseñando en la Escuela Neoplatónica de Alejandría a un grupo selecto de alumnos cristianos y paganos. Una turba descerebrada acabó con su vida desollándola en el año 415 o 416.

En su película Ágora, Amenábar nos la muestra haciendo un experimento. Acompañada de un alumno, Hipatia sube a un barco anclado en el puerto y deja caer un saco desde la cofa hasta el suelo. A continuación, el barco se pone en movimiento a velocidad constante y Hipatia ordena que dejen caer el saco de nuevo. Cuando el saco llega al suelo Hipatia le dice a su alumno: ”¿Ves? Ha caído en el mismo sitio”. Desde el barco, Hipatia y su alumno han visto como el saco caía verticalmente en ambas pruebas. Si Hipatia hubiera dejado a un alumno en el muelle contemplando el experimento, habría visto que en la primera prueba el saco cae verticalmente mientras que en la segunda lo hace describiendo una curva parabólica hacia la cubierta, pues el saco cae en el mismo sitio, pero ese punto ha avanzado unos metros durante el tiempo de caída. Hoy sabemos que esto es así porque al soltar el saco en la segunda prueba, ya parte con una velocidad inicial horizontal igual a la del barco. Componiendo esta velocidad con la de caída por la acción de la gravedad se puede calcular la segunda trayectoria que ve el alumno desde fuera, que será una curva de mayor longitud que la vertical, mientras que para Hipatia, que se mueve con el barco, la velocidad de caída solo es la debida a la acción de la gravedad. Si hubieran sabido calcular el tiempo transcurrido desde que el saco sale de la cofa hasta que llega al suelo todos habrían calculado y medido el mismo tiempo. Visto desde fuera y desde dentro tendremos pues, dos velocidades, dos trayectorias y el mismo tiempo.

Quince siglos después, Einstein repite el experimento de forma virtual. En lugar de un barco supone un tren en marcha que cruza por una estación, reduciendo el experimento a la segunda prueba, ya que la primera no es necesaria. En lugar de tirar un saco desde la cofa del barco lanza un rayo de luz desde el techo hasta el suelo. En lugar de Hipatia y su alumno, en el tren solo hay un operador que lanza el rayo de luz y mide el tiempo que tarda en llegar al suelo. Y, finalmente, en lugar del alumno que podría haber observado desde el muelle coloca en el andén al jefe de estación. Como en el caso de Ágora, el operador verá que el rayo de luz cae verticalmente, mientras que el jefe de estación verá una trayectoria más larga que la vertical, ya que mientras que el rayo cae el punto de llegada se habrá desplazado con la velocidad del tren.

Hasta aquí todo parece igual, como si el experimento de Einstein fuera un “remake” del experimento de Hipatia. Pero hay una diferencia esencial, y es que la velocidad de la luz, c, vale 300.000 km/s, y ese valor es constante e independiente de la velocidad del emisor y de la velocidad del receptor, con lo que ya no tendremos dos velocidades como en el caso de Hipatia, sino una misma velocidad para los dos observadores.  Por lo tanto, si para el operador el tiempo transcurrido y medido correspondiente al rayo que desciende verticalmente es t_p, el jefe de estación dirá que desde su posición el tiempo t tiene que ser mayor que t_p, dado que el rayo de luz ha recorrido un camino más largo desplazándose a la misma velocidad.

Así nace la Teoría de la Relatividad Especial, según la cual, el tiempo propio t_p medido por el operador de cualquier experimento en el sistema de referencia donde está trabajando, siempre será menor que el tiempo t que se mida desde otro sistema de referencia que se mueva a velocidad constante v con respecto al primero. Esta diferencia solo es importante para velocidades v muy altas, ya que la fórmula que los relaciona es t = t_p / [(1-(v²/c²)]^1/2. Para valores pequeños de v con relación a c, el denominador es prácticamente igual a uno y t= t_p. Volviendo al experimento de Hipatia tendríamos que el tiempo propio es el que calcula y mide Hipatia. Y si el alumno del muelle hubiera medido el tiempo, éste habría sido mayor que el tiempo propio medido por Hipatia.

En un experimento similar para medir la longitud del vagón encontraríamos todo lo contrario, y el jefe de estación diría que la longitud del vagón es más pequeña que la que ha medido el operador. La fórmula y su enunciado serían los siguientes: un cuerpo de longitud lp en reposo, resulta de una longitud menor, l = lp [(1-v²/c²)]^1/2, cuando se mide desde un sistema de referencia que se mueve en dirección paralela a la longitud medida a una velocidad v. En los términos coloquiales de nuestro experimento, como acabamos de decir, diríamos que la longitud medida por el jefe de estación es menor que la medida por el operador que está dentro del tren. Al contrario de lo que ocurría con el tiempo.

Como el tiempo medido por el operador es más pequeño que el del jefe de estación podríamos pensar que por ir en el tren su reloj se retrasa, o, lo que lo mismo, que su tiempo se dilata. Esto suele llevar a algunas paradojas y a discusiones interminables de poca utilidad. Cuando los físicos trabajan y tienen que medir un tiempo o una longitud, piensan si es propio o impropio, lo miden y se dejan de discusiones estériles.

Si Hipatia se hubiera dado un paseo por su barco podríamos haber definido su posición en un momento dado (x,t), por su distancia a popa o por su distancia al muelle desde el que partió el barco, y pasar de un sistema de referencia al otro habría sido tarea fácil, pues para ello basta con sumar o restar las distancias y las velocidades. Cuando lo hizo el físico Hendrik A. Lorentz teniendo en cuenta que la velocidad de la luz era la misma para cualquier observador, obtuvo un resultado sorprendente: las variables x y t no son independientes, y al pasar de un sistema (x,t) a otro (x’,t’), resulta que tanto x como t dependen de x’ y t’ simultáneamente; y que x’ y t’ dependen ambas de x y de t. Generalizando a un espacio tridimensional nos encontramos con que ha nacido el espacio-tiempo, el espacio de cuatro dimensiones, x,y,z,t. El tiempo ha perdido su independencia.

La constancia de la velocidad de la luz quedó demostrada en 1887 en el experimento llamado de Michelson-Morley. Michelson recibió el premio Nobel de Física en el año 1907. Lorentz lo recibió en 1902.

Imagen de cabecera: La figura enmarcada en este cuadro de Rafael de Urbino representa a Hipatia de Alejandría.