Física, música y geometría

Una onda de sonido pura es como esa línea ondulatoria que todos conocemos, que tiene la forma de la figura de la cabecera, que se caracteriza por su amplitud y su frecuencia. La amplitud define la intensidad del sonido y la frecuencia define su tono.

El maridaje entre la física y la música viene de lejos y encuentra su mejor explicación en la vibración de una cuerda sujeta por sus dos extremos, como ocurre en muchos instrumentos. Si pulsamos la cuerda en su estado de reposo, se produce una vibración que crea un sonido que se puede estudiar con las leyes de la Física. Al pulsar la cuerda suceden dos cosas importantes. La primera es que la onda no es pura, sino irregular, y sus características dependen de la longitud de la cuerda, de su tensión y de su densidad. La segunda es que la onda viaja por la cuerda hasta llegar a un extremo, donde rebota y vuelve hacia atrás acoplándose con la primera, dando lugar a una onda estacionaria, que permanece allí yendo y viniendo de un extremo a otro hasta que se amortigua o se produce una nueva perturbación

En la figura 1a se representa la mitad de una de estas ondas. Se ha dibujado solo media onda para que así la figura 1b, que es la mitad de una onda pura, represente también visualmente a la cuerda sujeta por sus dos extremos. Una onda irregular siempre se puede descomponer en suma de ondas puras con tantos sumandos como se quiera, todos ellos de frecuencias múltiplo de la frecuencia principal, que es la de la onda primigenia, que se llama frecuencia fundamental. Las demás se llaman armónicos. Si la frecuencia fundamental es f, las de los armónicos serán 2f, 3f, 4f etc. En función de las simetrías de la onda fundamental algunos armónicos pueden valer cero. Esta descomposición en armónicos siempre es posible. Lo es desde un punto de vista físico porque la ecuación de onda es una ecuación diferencial que admite todas las soluciones de frecuencias múltiplo de la fundamental; y lo es matemáticamente gracias a una transformada y unos desarrollos en serie que llevan su nombre, debidos al matemático francés Joseph Fourier (1768-1830). Al conjunto de todas estas frecuencias, que se pueden medir y registrar con facilidad, se llama espectro de frecuencias. El espectro de frecuencias de un instrumento es una de sus características esenciales porque a él se debe el timbre de su sonido.

En la figura 1b, se ha representado el armónico fundamental de la onda de la figura 1a, también de frecuencia f, y en las otras figuras los armónicos segundo y tercero de frecuencias 2f y 3f. La semionda del armónico fundamental vibraría como una panza hacia arriba y hacia abajo. Igualmente lo haría con sus dos panzas el segundo armónico y con sus tres panzas el tercero, estos dos últimos dejando inmóviles como si estuvieran fijos los puntos entre semiondas. Todas estas vibraciones superpuestas componen la vibración real de la cuerda que llega a nosotros como nota musical.

Y si ya tenemos una nota, creando otras de distinta frecuencia tendríamos una escala que nos serviría para componer música. Para crear otras notas bastaría con cambiar la longitud de la cuerda, pues la frecuencia y la longitud de la cuerda son inversamente proporcionales. Reduciendo la longitud de la cuerda a la mitad una y otra vez, se crean notas que van duplicando su frecuencia y se llaman octavas. Las octavas son útiles, pero no sirven para crear una escala porque sus armónicos son similares a los de la primera nota y no añaden sonidos nuevos. Lo que se hace es reducir la longitud de la cuerda de manera sucesiva aplicando el coeficiente 2/3, con lo que se crean sonidos nuevos y algunos armónicos se parecen a los anteriores, lo cual es agradable para el oído. Las notas así creadas se llaman quintas.

Para construir una escala musical basta con partir de una nota inicial e ir creando quintas; en lugar de hablar de las longitudes de una cuerda hablaremos de sus frecuencias; como el resultado interesa que sea periódico para que la escala se repita en tonos graves, medios y agudos, en lugar de marcar las frecuencias sobre una línea recta lo haremos sobre una circunferencia, porque así, cuando después de crear unas notas volvamos al punto de partida sabremos que comenzamos un período nuevo.

Figura 2

Siguiendo la figura 2, partimos de una primera nota en el punto 1 con una frecuencia determinada. A los 2/3 del punto de partida con relación a la longitud de la circunferencia en sentido del reloj tendremos una nota nueva, una quinta, en el punto 2, y así seguiremos hasta tener 7 notas. Si unimos las 7 notas tendremos los recorridos de la figura 2, que forman una estrella de 7 puntas. Cuando se forman estas estrellas, las escalas resultan agradables al oído, como si la belleza de la música estuviera condicionada por la belleza de la geometría. Esto ocurre con 5, 7, 12, 17 y 53 notas, que son escalas que se han usado o se siguen usando. La nuestra, la que todos conocemos es la de 7 notas que se corresponden con las teclas blancas del piano.  Como las separaciones entre las 7 notas son distintas entre sí, el recorrido seguido de las siete notas suena distinto según por donde se empiece. Serían las siete escalas llamadas mayor, dórica, frigia, lidia, mixolidia, menor y locria.   Pero como aún quedan huecos, podemos seguir creando notas saltando del punto 7 al 8, al 9, al 10, al 11 y al 12, como se ve en la figura 3, desde donde volvemos al punto inicial. Estas cinco notas se corresponden, incluso en su posición con respecto a las blancas, con las teclas negras del piano. Así hemos creado la escala de doce notas llamada cromática, que finalmente se ajusta a una circunferencia dividida en 12 sectores iguales, a la que solo le falta asignarle las frecuencias correspondientes.

A la nota La, punto 5, que se corresponde con la tecla blanca central del piano, se le asigna la frecuencia de 440 hercios; el comienzo de la escala será el Do, punto 2, y como factor multiplicador o divisor para calcular las frecuencias a partir de la de 440 Hz, se toma el que duplicaría la frecuencia en una vuelta, para que así esté a una octava del comienzo y se inicie otro período, lo que hace que este factor sea la raíz duodécima de 2 por cada sector. Así tenemos las notas y frecuencias, medidas en ciclos por segundo, de la figura 3.

                                       Figura 3

Los instrumentos de cuerda casan muy bien con los de viento porque sus leyes físicas son similares: al perturbar el aire contenido en un tubo abierto por sus extremos o cerrado por uno de ellos, se crea una onda que también se refleja en los extremos dando lugar a una onda estacionaria. Igualmente, modificando la longitud de los tubos con válvulas, pistones u otros procedimientos se cambia la frecuencia.

Bibliografía: https://youtu.be/P7iC-fbdKmQ