Mínima acción

La acción es una magnitud física como son, por ejemplo, la energía o la temperatura. Sin embargo es menos conocida porque su uso es poco frecuente. La acción se define como el producto de la energía por el tiempo. Si en realizar un trabajo consumo una energía de 0,5 kWh y tardo 900 segundos en ejecutarlo el valor de la acción será de 0,5*900 = 450 kWh*s.

Al estudiar cómo se comporta la naturaleza se ha visto que siempre lo hace de tal manera que el valor de la acción sea mínimo, cumpliendo un principio que por eso se llama Principio de la Mínima Acción, que suele ilustrarse con ayuda de la figura 1. Si una partícula tiene que ir desde el punto A al punto B y tiene tres caminos posibles 1,2 y 3, lo hará siempre por el camino 1, que será el que hace que la acción sea mínima. El principio de mínima acción es un axioma y por lo tanto no se puede demostrar. Sin embargo todos los sistemas conocidos hasta ahora responden bien a este principio, pues como dijo el matemático francés Pierre Louis Maupertuis en 1744, que fue quien primero lo enunció, “la naturaleza es económica en todas sus acciones”.

El principio de mínima acción es un principio de una utilidad grande, pues lo mismo puede aplicarse en la mecánica clásica que en la relativista. Para calcular la acción mínima hay que conocer primero el valor de la acción y luego buscar su valor mínimo por el procedimiento habitual de igualar a cero su primera derivada. Sin embargo calcular la acción no es fácil. No existe ningún procedimiento para construir la ecuación que desarrollada o integrada entre los puntos A y B nos de el valor de la acción para un sistema específico. A veces incluso hay que construir varios modelos y luego verificar mediante experimentos y observaciones cuál de ellos describe mejor nuestro sistema. Si las observaciones corroboran las predicciones teóricas, tendremos la teoría correcta hasta que encontremos un fenómeno que no pueda ser explicado por el modelo.

Un caso sencillo para calcular la acción es el de una partícula puntual que se moviera bajo la acción de un potencial dado, V. En este caso, la ecuación de partida, la que hay que integrar entre los puntos A y B buscando su mínimo viene dada por la diferencia entre la energía cinética de la partícula y el potencial V. La grandeza de aplicar este procedimiento es que al encontrar el mínimo que buscamos, sus ecuaciones nos dan directamente las ecuaciones del movimiento de nuestra partícula, que en definitiva es lo que necesitamos.

Si quisiéramos saber la acción correspondiente a un sistema formado por una partícula de masa m y carga eléctrica e que se moviera en el seno de un campo electromagnético, tendríamos que sumar las tres acciones siguientes: La acción Sm correspondiente a una partícula libre de masa m, la acción Sem correspondiente al campo electromagnético y la acción Sint que describe la interacción entre la partícula y el campo. Como todas las fórmulas que se necesitan para calcular estas acciones y así buscar el mínimo de su suma son ya conocidas, utilizar este procedimiento para abordar un problema concreto no ofrece ninguna dificultad y la solución nos da directamente las ecuaciones del movimiento.

Y lo mismo ocurriría si quisiéramos tener en cuenta la relatividad general. Sería el caso de una partícula que se deslizara por una geodésica en un campo gravitatorio. En este caso, las acciones correspondientes a lo que antes era el campo electromagnético se sustituirían por la llamada acción de Hilbert-Einstein, que se suele representar por S[g], y la acción debida a la masa quedaría recogida en un término Sm que se diferenciaría del mencionado en el párrafo anterior en que sería cuatridimensional, por tratarse de un movimiento en el seno del espacio-tiempo. Una vez conocidas estas acciones basta sumarlas y buscar el mínimo correspondiente, haciendo su variación ∂ S = 0, para encontrar las ecuaciones del movimiento de la partícula. Esto, que conceptualmente parece muy simple, en la práctica es sumamente complicado. Pero eso no debe preocuparnos porque ya está hecho, y el resultado no es ni más ni menos que la ecuación de campo de Einstein, que es una parte de la ecuación fundamental de la teoría de la relatividad general, que explica el movimiento de la partícula en función de la curvatura del espacio-tiempo.

Este procedimiento para definir el estado de un sistema utilizando el principio de mínima acción se utiliza cada vez más en física. Tiene su escollo en definir la acción si es que no se conoce. Pero la acción, con frecuencia es conocida si ya ha sido calculada por otros, y los resultados nos dan directamente las ecuaciones del movimiento, que es lo que suele interesarnos.

Y para terminar, dejemos a un lado el Principio de Mínima Acción, para volver a hablar, como empezamos, de la magnitud acción: energía *tiempo. La magintud acción es la que define lo que es una fluctuación cuántica, una especie de explosión energética que aparece aleatoriamente en el seno de un campo electromgnético, dura muy poco tiempo y vuelve a desaparecer. Pero ocurre que esta fluctuación cuántica está sometida al pricipio de indeterminación de Heisemberg y por lo tanto está acotada, lo que significa que si el tiempo es pequeño la energía puede ser grande y viceversa. En consecuencia si el tiempo es infinitesimal la energía puede ser enorme. Por eso, hay quien mantiene que una fluctuación cuántica de este tipo pudo ser la causa del big-bang y, por lo tanto, el origen de nuestro universo.

A pesar de la importancia de todo esto, la magnitud acción es una gran desconocida.