La desigualdad de Bell

Alguna vez hemos oído decir que el vuelo de una mariposa en el mar de Japón puede desencadenar un huracán en el mar Caribe. Ante esta afirmación, aparentemente inocente, podemos posicionarnos por una de las dos opciones siguientes:

-No aceptarla, argumentando que el mundo es local, es decir, se gobierna por criterios de localidad, y que, por lo tanto, lo que ocurre en un lugar no es afectado por lo que ocurre lejos de él.

-Aceptarla, admitiendo que el mundo no sigue criterios de localidad, es no local, y que, en consecuencia, lo que ocurre en cualquier lugar puede verse influido por algo lejano.

Hablar de esto con rigor científico ha traído de cabeza a los físicos de todo el mundo durante años. Se ha escrito mucho y se han hecho muchos experimentos. ¿Cómo se demuestran la localidad o la no localidad? El origen de estas discusiones fue un artículo publicado en 1935, del que ya hemos hablado, conocido como EPR, que, por los fenómenos del entrelazamiento, ponía en duda que la mecánica cuántica fuera una teoría completa. Como el entrelazamiento no tiene una explicación racional, el artículo asumía que “el mundo es local pero la mecánica cuántica es incompleta”, o bien que “si admitimos que la mecánica cuántica es una teoría completa hay que admitir también que el mundo es no local”. En aquel momento la formulación de la mecánica cuántica estaba ya bastante bien definida y el artículo dio lugar a importantes debates académicos entre Einstein y Bohr.

En 1964 y años posteriores, un físico irlandés llamado John Bell, publicó unos artículos poniendo de manifiesto que era posible demostrar con ciertos experimentos que la mecánica cuántica y las teorías que defendían la localidad podían hacer predicciones distintas de un mismo fenómeno, y que, en consecuencia, una u otra eran erróneas. Bell trabajaba en el proyecto CERN en Ginebra, y aunque estas materias no formaban parte de su trabajo diario, se dedicaba a ellas por vocación en sus ratos libres.

En primer lugar vamos a fijarnos en la tabla 1, formada por tres columnas encabezadas por las letras h, Φ y θ, en la que los signos + y – se han escrito de forma aleatoria. Obsérvese que hay solo 8 posibilidades de combinar los signos + y – en tres columnas: (+++), (++-), (+-+), (+–), (-++), (-+-), (–+) y (—). Por lo tanto, como hemos escrito 13 filas de forma aleatoria tiene que haber varias repeticiones. Ahora fijémonos en lo siguiente, que solo es cuestión de nomenclatura:

Si llamamos n(h+Φ+) al número de veces que aparece el signo + en las columnas h y Φ, que en este caso es igual a 3,

si llamamos n(Φ+θ+) al número de veces que aparece el signo + en las columnas Φ y θ, que en este caso es igual a 2,

y si llamamos n (h+θ+) al número de veces que aparece el signo + en las columnas h y θ, que en este caso es igual a 4,

                Tabla 1

Se tiene que cumplir que:

n(h+Φ+)+n(Φ+θ+) ≥ n(h+θ+), en este caso, 3+2 > 4     (1)

Para comprenderlo mejor, pensemos que si en lugar de trece filas hubiéramos escrito muchísimas más, las ocho posibilidades mencionadas serían equiprobables, por lo que las podríamos repartir en los ocho sectores iguales de un círculo como indica la figura de cabecera. En este supuesto lo que dice la ecuación (1) es que la suma de los sectores (1+2)+(1+5) es mayor que la suma de los sectores (1+3), lo cual es evidente porque todos los sectores son iguales.

Admitimos pues que esta desigualdad se cumple siempre pero para ello es necesario que la distribución de los signos + y – de la tabla sea aleatoria.

¿Tiene esto algo que ver con el problema planteado de la localidad o no localidad del mundo que nos rodea? Pues sí, basta con que a estos números aleatorios que son pura matemática le demos un sentido físico. Y como tenemos que meternos en el terreno de la mecánica cuántica, vamos a dárselo con un experimento mental midiendo la polarización de unos fotones.

Supongamos que hacemos un experimento utilizando los tres equipos de la figura 1, desde los cuales lanzamos fotones a izquierda y derecha desde una fuente, y medimos su polaridad de la manera siguiente:

               Figura 1

Los medidores designados con la letra h miden la polarización según una dirección paralela o perpendicular a la horizontal, que denominaremos h+ y h- respectivamente.

Los designados con la letra Φ miden la polarización paralela o perpendicular a una dirección que forma un ángulo Φ con la horizontal, que denominaremos Φ+ y Φ- respectivamente.

Y los otros dos miden la polarización paralela o perpendicular a una dirección que forma un ángulo θ con la horizontal. A esta polarizaciones las llamaremos θ+ y θ- respectivamente.

Si hacemos un número elevado de experimentos, dando por sentada la localidad, es decir, la no influencia de unos aparatos sobre otros, los resultados serán aleatorios y obtendremos una distribución de signos + y – como la de la tabla 1, con lo cual podemos decir que la fórmula (1), que es la denominada desigualdad de Bell, la podríamos enunciar así: en un experimento como el citado, si la presencia de unos aparatos no influye en la medida de los otros, el número de polarizaciones h+Φ+, más el número de polarizaciones Φ+θ+, tiene que ser mayor o igual al número de polarizaciones h+θ+.

Pero resulta que esto no ocurre, por lo que la hipótesis de que unos aparatos no influyen sobre otros no es correcta, y tenemos que concluir diciendo que el mundo es no local, conclusión a la que se llega por dos caminos diferentes.

Uno teórico, pues si aplicamos la mecánica cuántica a lo que acabamos de decir, resulta que el teorema de la desigualdad de Bell es equivlente a la siguiente desigualdad:

cos²Φ + sen²(θ-Φ) ≥ cos²θ,

que no se cumple para determinados valores de Φ y θ, en concreto para valores de θ comprendidos entre 0º y 30º, de donde resulta que la mecánica cuántica es inconsistente con el teorema de Bell y su hipótesis de localidad. El hecho de que se viole la desigualdad de Bell ya nos anuncia que ninguna teoría local puede ser consistente con los experimentos. Recordemos que la hipóteis de localidad quiere decir que lo externo no influye y por lo tanto los resultados tienen que ser aleatorios.

También llegamos a la misma conclusión por la vía experimental. Entre los muchos experimentos realizados destacan los llevados a cabo por Alain Aspect, galardonado con el premio Nobel de Física de 2022, junto a John Clauser y Antón Zeilinger, por sus experimentos con fotones entrelazados. Según los experimentos de Aspect, una operación realizada en un fotón puede afectar a otro separado del primero por una distancia considerable, aunque esta influencia solo se pone de manifiesto al analizar las correlaciones existentes entre las medidas hechas en ambos extremos. Como nos dice Alastair Rae, «las propiedades observadas de los pares de fotones no pueden explicarse sin postular alguna correlación entre el estado del aparato de medida y el del fotón distante«.

Toda esta historia demuestra el afán de los científicos por demostrar que los fenómenos que observan en la realidad se dan de forma segura y no son contingentes. Pero, demostraciones aparte, lo que no cabe duda es que el entrelazamiento de fotones, de cúbits o de microcircuitos superconductores, que es una acción a distancia, y por lo tanto no local, es un hecho real observado desde hace más de noventa años. Y para mayor evidencia, los laboratorios de IBM acaban de anunciar que, además del entrelazamiento entre partículas, han conseguido también el entrelazamiento entre chips independientes de los que se utilizan como portadores de cúbits, con lo cual la potencia de los ordenadores cuánticos ya no tendrá límites.